Leggendo le Lezioni di fisica di Feynman mi sono imbattuto in un suo famoso paradosso.
Ne avevamo discusso durante il ritorno in macchina dal Gran Sasso e, in effetti, tra le varie ipotesi che avevamo fatto quel giorno c'è anche la soluzione. Espongo brevemente di cosa si tratta.
Immaginiamo di avere una bobina fissata coassialmente ad un disco di materiale isolante. Sul bordo di questo disco, a distanza R dall'asse (R molto maggiore delle dimensioni della bobina), sono fissate N cariche q.
All'inizio il sistema è fermo e nel solenoide scorre una corrente stazionaria I, questa crea un campo magnetico costante B. Il momento angolare meccanico del sistema è nullo.
Immaginiamo che il solenoide sia fatto di un materiale superconduttore: la corrente scorre al suo interno senza bisogno di alcuna forza elettromotrice.
Dopo un certo tempo la temperatura del solenoide supera quella di transizione e la corrente si ferma.
Dato che c'è una variazione di campo magnetico e quindi di flusso di B all'interno del disco, ci dovrà essere un campo elettrico tale che la sua circuitazione sia pari all'opposto della derivata temporale del flusso del campo magnetico. Questo campo elettrico, data la simmetria del sistema, dovrà essere tangente alla circonferenza di raggio R e uniforme su questa; ci sarà quindi una forza F = qE applicata alla carica, quindi un momento M e da questo ci deve essere una variazione del momento angolare, quindi il sistema comincerà a girare. Alla fine il momento angolare del sistema è diverso da zero.
Sembra che il momento angolare non si conservi!
Soluzione dettagliata
Alla fine ci sono delle considerazioni interessanti su cui credo che valga la pena riflettere un po'.
giovedì 26 luglio 2007
Paradosso di Feynman
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7 commenti:
Ciao david!
Io non conoscevo il paradosso, ma ho appena finito di leggere il tuo scritto ed è molto interessante.
Devo ancora leggere bene le osservazioni finali ma intanto volevo dirti che non mi tornano un po' di cose:
-la quantità di moto per unità di tempo e di superficie portata dall'onda è p= S /c (eq IX.74 Mencuccini)...quindi non capisco perchè dividi per c^2.
In ogni modo non è importante perchè nella deduzione che fai del momento inziale e finale non usi questa formula.
-Non riesco bene a vedere qual'è la superficie chiusa che vuoi considerare nel calcolo di L(fin)...
il disco+ l'estensione del disco (che immaginino come una corona circolare) + chiusura all'infinito (??...scusa la poca immaginazione e perspicacia:)!!)
Poi mi sa che nel calcolo di "flusso su d" ti sei perso un po' di meno, ma essendotene persi 2 alla fine il risultato è giusto:)
comunque è una bellissima idea quella di pubblicare scritti sul blog, ora imparerò il latex e mi spiegarai come si fa...tanto per scrivere stupidaggini:)
Ciao David!
Ho un problemino nella tua dimostrazione. Immagino che l'estensione del disco sia il complemento al disco stesso nell'insieme universo dato dal piano del disco, cioè prendendo la superficie piana su cui giace il disco l'estensione di cui parli è tale superficie privata del disco stesso. E' così? Se ho capito bene (vista l'integrazione successiva che fai) secondo me c'è un problema. La formula che dai per il calcolo di B è approssimata per grandi raggi (come sottolinei tu stesso) e quindi non vale vicino ad R. Quindi l'integrazione che fai non è del tutto corretta. Cercherò di integrare direttamente (ma non so se ci riuscirò vista la bestia di integrale). Fammi sapere.
Ciao!
Scusami di nuovo, ma non mi è ben charo il modo con cui calcoli il momento angolare iniziale.
Per t:
1) Feynman, nel paragrafo 27.6 Vol.II dice: "per un importante teorema della meccanica, ogni qualvolta c'è un flusso di energia in qualsiasi circostanza, il flusso di energia attraverso l'unità di superficie per l'unità di tempo moltiplcato per 1/c^2 è pari alla quantità di moto per unità di VOLUME nello spazio".
Se lo prendo per unità di SUPERFICIE devo moltiplicarlo per lo spazio che l'onda percorre nell'unità di tempo, cioè per c ed ottengo quello che dici tu, cioè la quantità di moto per unità di tempo e di superficie.
2) Per i segni hai ragione.. ho già corretto.
La superficie di integrazione è la mezza sfera di raggio infinito con la parte equatoriale complanare al disco. E' fatta di 3 parti: il disco, la sua estensione sullo stesso piano fino all'infinito e la mezza calotta sferica di raggio infinito.. l'importante è che sia una sup chiusa.
Appunto per non incappare nell'errore di non considerare l'approssimazione che faccio per il campo B nei dintorni della bobina sfrutto questa superficie. Io calcolo il flusso di B nell'estensione e nella calotta sferica (qui è banalmente 0 dato che B=0) e so che, dato che divB=0, questo flusso è uguale e di segno opposto al flusso nel disco.
Marinaio semplice, la formula è valida per grandi raggi rispetto alla bobina (che ha raggio a), dato che come ipotesi ho che a molto minore di R posso calcolare benissimo B da R a inf con la formula approssimata.
Per il calcolo del momento angolare iniziale sfrutto la seconda equazione cardinale della meccanica (si chiama così? boh..) cioè quella che dice:
dL/dt= Mest, cioè la derivata del momento angolare di un sistema è il momento totale delle forze esterne che agiscono sul sistema.
Dato che all'inizio di quella operazione ipotetica L=0 ed io, per avvicinare q con velocità piccola e costante in linea retta dall'infinto fino al suo posto devo esercitare dall'esterno delle forze che hanno momento non nullo, allora il momento angolare deve essere cambiato e non sarà più zero. Dato che però il sistema meccanico è fermo, questo momento angolare deve stare nel campo elettrico e magnetico della carica e della bobina.
GRAZIE MILLE per queste osservazioni, sono molto apprezzate e benvolute.
P.S. Ho corretto i segni e rimesso a quell'indirizzo la versione corretta.
Ancora sul dubbio di T riguardo la formula per la densità di quantità di moto..
Sempre dal Feynman (quel libro è una Bibbia con la differenza che dice cose dimostrabili e quindi vere, entro le incertezze..)
def 1:
Uo= dE/(dSdt) = S
cioè è l'energia che arriva sull'unità di superficie nell'unità di tempo (in pratica il modulo di S)
prop 2:
Mecc Relativistica: P = Ev/c^2
quantità di moto = energia*velocità/c^2
Per un'onda em v=c quindi diventa:
P = E/c
Voglio la densità di quantità di moto:
p = dP/dV = dE/(cdV) = dE/(c dxdS)
= dE dt/(c dx dS dt) = dE/(c^2dSdt)
= Uo/c^2 = S/c^2
Scusa David,
Avevo saltato il passaggio sulle dimensioni di a rispetto a R. Per quanto riguarda il momento angolare iniziale, avevo già chiaro il procedimento ma continua ad essermi oscura la fisica che c'è dietro i passaggi. Vorrà dire che ci penso un altro pò. Comunque grazie.
David ora è tutto chiaro!
Grazie:)
Buone vacanze se non ci si sente più!
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